Ingineria sistemelor automate - levitație magnetică

1. Modelarea sistemului

Procesul studiat constă în suspendarea unei bile metalice cu ajutorul unui electromagnet. Scopul acestui sistem este de a controla poziţia pe verticală a bilei prin reglarea tensiunii Vu prin electromagnet.

În continuare vom folosi următoarele notaţii:

M – masa bilei metalice;

g – acceleraţia gravitaţională;

i – curentul prin bobina electromagnetului;

L – inductanţa bobinei electromagnetului;

R – rezistenţa bobinei electromagnetului;

μ0 – permeabilitatea magnetică a aerului;

x – poziţia bilei faţă de electromagnet;

v – tensiunea electrică în electromagnet;

Astfel, procesul va putea fi modelat cu ajutorul următorului sistem de ecuaţii:

Ecuaţiile de mai sus vor putea fi rescrise folosind următoarele notaţii: x1=z; x2= ; x3=i(t); u=v(t); y=z.

Observăm că modelul matematic este unul neliniar, neliniarităţile fiind introduse în a doua ecuaţie de către x32(t) şi de 1/x1(t).

Presupunând că bila este iniţial situată în x1(0)=z(0) (care poate fi oricât în limita a 0.015m, atingând electromagnetul, sau 0.30m, limita maximă impusă) putem liniariza modelul în punctul z(0).

De aici vom putea scoate modelul State-Space a procesului levitaţiei magnetice:

Iar din acest model State-Space putem afla, pentru anumite valori numerice, funcţia de transfer a procesului cu ajutorul comenzii Matlab “ss2tf”.