Ingineria Sistemelor Automate - Pendulul Inversat

Cap. 1. Introducere

Pendulul invers este o problema clasica de control. Procesul este neliniar si instabil, cu un singur semnal de intrare si mai multe semnale de iesire. Scopul este de a balansa pendulul vertical pe un carucior cu motor.

Balansarea unei rigle in mana este un exemplu de pendul invers. Acest exemplu ofera modelul fizic pentru a observa si a intelege dinamica unui pendul invers. Acest exemplu cu rigla reprezinta un pendul invers simplu cu doua grade de libertate. Restrictionand sistemul la un singur grad de libertat, obtinem exemplul classic al unui system neliniar instabil. Folosind tehnici moderne de control este posibil sa controlam pendule sau sisteme de pendule cu multiple grade de libertate. Stabilizarea pendulului invers reprezinta un model de baza pentru controlul altor procese similar: decolarea rachetelor, echilibrarea macaralelor cu incarcaturi grele etc. In cercetarile recente balansarea pendulului invers a fost des studiata in teoriile de control modern, cum ar fi controlul fuzzy, controlul prin gain variabil, controlul neliniar si retele neuronale

Cap.2. Modelare (determinarea MM aferente proceselor)

Figura alaturata reprezinta un pendul invers.

Scopul: miscarea caruciorului pe axa x pana la o pozitie dorita fara ca pendulul sa cada. Pozitia caruciorului, x, si unghiul pendulului cu verticala, sunt masurate si furnizate unui sistem de control. Forta disturbatoare F poate fi aplicata caruciorului.

unde:

l = lungimea pendulului;

m = masa pendulului;

M = masa căruciorului;

θ = unghiul de deviaţie al pendulului faţă de poziţia verticală;

u = comanda motorului asupra căruciorului.

Se considera urmatorul model fizic al pendulului:

in care:

Cg = centrul de greutate;

P = punctul de articulatie;

l = 1/2 din lungimea pendulului;

m = masa pendulului;

= unghiul pendulului cu verticala;

Schema bloc a pendulului inversat este:

Aşa cum se poate observa din figura de mai sus, când forţa este aplicată caruciorului au loc două efecte :

1.deplasarea acestuia pe distanţa x

2.modificarea unghiului pendulului (raportat ca referinţă la verticală) cu q.

Coordonatele centrului de greutate:

Viteza centrului de greutate este:

Acceleratia centrului de greutate este:

Aplicand legea a doua a lui Newton in directia x a miscarii, avem:

Aplicand legea a doua a lui Newton la miscarea de rotatie obtinem:

Pendulul invers trebuie pastrat vertical, de aceea se face presupunerea ca si sunt cantitati mici, astfel incat