Fuzzy data base

1. Noţiuni fundamentale de logică fuzzy

Logica clasică consideră valoarea de adevăr a propoziţiilor în termeni de adevărat sau fals. Legea terţului exclus a lui Aristotel făcea imposibilă o altă variantă În viaţa de zi cu zi, ne confruntăm totuşi cu foarte multe situaţii în care o astfel de abordare este nerealistă. Să considerăm afirmaţia „cerul este albastru”. Uneori cerul este într-adevăr albastru, când afară este senin. Dar dacă sunt nori- Dar noaptea- Este clar că o manieră strictă de evaluare a valorii

de adevăr a propoziţiilor nu coincide cu modul mult mai flexibil în care gândesc oamenii, în condiţii de incompletitudine. Incompletitudinea unei informaţii se exprimă pe două scări:

scara incertitudinii se referă la încrederea care i se acordă informaţiei (dacă sursa de informaţie, instrumentul de măsură sau expertul sunt complet siguri, demni de

încredere, informaţia este certă );

scara impreciziei se referă la conţinutul informaţional (informaţia este precisă dacă mulţimea valorilor specificate în enunţul corespunzător este single-ton, adică are o

valoare unică ).

1.1. Teoria mulţimilor fuzzy

Un suport teoretic valoros care tratează incompletitudinea este teoria mulţimilor fuzzy.

Un tip incipient de logică fuzzy a apărut încă din 1920, propus de matematicianul

polonez Jan Lukasiewicz (inventatorul notaţiei poloneze). Sistemul său permitea extinderea valorii de adevăr a unei propoziţii la toate numerele reale din intervalul [0,1]. Un număr din acest interval era interpretat drept posibilitatea ca propoziţia considerată să fie adevărată sau falsă.

Aceste cercetări au dus la apariţia teoriei posibilităţii, o tehnică de raţionament în condiţii de inexactitate. În 1965, Lotfi Zadeh a extins teoria posibilităţii într-un sistem formal de logică matematică De asemenea, a adus în discuţie modalităţile de lucru cu termeni nuanţaţi ai limbajului natural. Acest instrument de reprezentare şi manipulare a termenilor nuanţaţi se numeşte logica fuzzy. Logica tradiţională consideră că un obiect poate aparţine sau nu unei mulţimi. Logica fuzzy permite o interpretare mai flexibilă a noţiunii de apartenenţă. Astfel, mai multe obiecte pot aparţine unei mulţimi în grade diferite. De exemplu, dacă avem în vedere mulţimea oamenilor tineri. Un copil de 10 ani e cu siguranţă tânăr, în timp ce o persoană de 60 de ani cu siguranţă nu. Dar un om de 30 de ani- Sau de 40- În acest caz, putem afirma că persoana de 30 de ani aparţine mulţimii respective într-o măsură mai mare decât cea de 40.

Fie X universul discursului, cu elemente notate x. O mulţime fuzzy A a universului de

discurs X este caracterizată de o funcţie de apartenenţă µA(x) care asociază fiecărui element x un grad de apartenenţă la mulţimea A:

(1.1)

Pentru a reprezenta o mulţime fuzzy, trebuie să-i definim mai întâi funcţia de

apartenenţă. În acest caz, o mulţime fuzzy A este complet definită de mulţimea tuplurilor:

(1.2)

Dacă X este o mulţime finită X = {x1, , xn}, atunci se foloseşte de multe ori notaţia:

(1.3)

Dacă universul X este continuu, atunci scriem:

(1.4)

Pe un univers de discurs pot fi definite mai multe submulţimi fuzzy. De exemplu,

pentru universul vârstelor unor persoane, putem defini submulţimile oamenilor tineri, bătrâni sau de vârstă mijlocie. Aceste submulţimi se pot intersecta (este chiar recomandat acest fapt). Aceeaşi persoană va aparţine submulţimii oamenilor tineri cu un grad de 70%, submulţimii oamenilor de vârstă mijlocie cu un grad de 90% şi submulţimii oamenilor bătrâni cu un grad de 30%.

Fie A o submulţime fuzzy a universului de discurs X. Se numeşte suportul lui A

submulţimea lui X ale cărei elemente au grade de apartenenţă nenule în A:

supp(A)= (1.5)

Înălţimea lui A se defineşte drept cea mai mare valoare a funcţiei de apartenenţă:

(1.6)

O submulţime fuzzy A a lui X este normală dacă h(A) = 1, adică astfel încât În caz contrar, A este subnormală.

Se numeşte nucleul lui A submulţimea lui X ale cărei elemente au grade de apartenenţă

unitare în A:

(1.7)

Fie A şi B submulţimi fuzzy ale lui X. Spunem că A este o submulţime a lui B dacă:

(1.8)

Fie A şi B submulţimi fuzzy ale lui X. Spunem că A şi B sunt egale dacă AB şi

BA:

A=B µA(x) = µB(x), xX (1.9)

Fie A o submulţime fuzzy a lui X şi şi a lui Se numeşte tăietură- (engl.  -cut) a lui µA mulţimea:

(1.10)

1.2. Tipuri de funcţii de apartenenţă

De multe ori, oamenii nu pot caracteriza precis informaţiile numerice, folosind formulări

precum „aproape 0”, „în jur de 100” etc. În teoria mulţimilor fuzzy, aceste numere pot fi

reprezentate ca submulţimi fuzzy ale mulţimii numerelor reale.

Un număr fuzzy este o mulţime fuzzy pe universul de discurs al mulţimii numerelor

reale, cu o funcţie de apartenenţă convexă şi continuă şi suport mărginit. Unii autori

consideră că un număr fuzzy trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: