Metode de Calcul Numeric Utilizate la Calcularea Derivatelor Parțiale

Introducere

Această teză de an şi-a pus drept obiectiv implementarea cunoştinţelor noi acumulate în programare în decursul anului prin rezolvarea concretă a unor sarcini, şi anume, în baza algoritmilor elaboraţi pentru calcularea derivatelor parţiale utilizaţi în matematică, se alcătuiesc algoritmii respectivi în limbajul de programare C. Algoritmii respectivi sunt alcătuiţi în mod iterativ, ceea ce permite implementarea lor în limbajul de programare. Derivatele parţiale au o implementare practică destul de vastă în matematică, în fizică (anume la determinarea funcţiei de repartiţie a căldurii pe o porţiune de suprafaţă, deformaţia elastică a unei plăci sub acţiunea unei forţe) în mecanică, etc.

1.Analiza problemei

Există mai multe modalităţi de rezolvare a derivatelor parţiale (de ordin II), şi anume, modelul matematic.

Acesta presupune definirea unei funcţii de 2 variabile z=f(x,y) în vecinătatea unui punct M(x,y). Dând o creştere oarecare ∆x în punctul M lăsăm variabila z neschimbata. Calcularea derivatei parţiale se reduce la calcularea derivatei după x, conform regulilor generale de derivare a unei funcţii. Creşterea parţială a funcţiei în raport cu variabila x se defineşte ca diferenţă dintre funcţia iniţială şi cea cu creşterea argumentului x: Derivata parţială se defineşte drept limita La fel se defineşte şi pentru x neschimbat şi y variabil. Deci pentru calcularea unei funcţii ce reprezintă o expresie e necesar de aplicat regulile de derivare, utilizând tabelul de derivare. În cazul funcţiilor complexe este cam dificilă calcularea derivatelor parţiale pentru un oarecare punct din domeniu. De aceea se propun metode altele decât matematice, ce presupune utilizarea datelor obţinute pentru calcularea altora, adică metode iterative. Aceste metode aproximează rezultatele cu o oarecare exactitate în dependenţă de pasul de rezolvare ales, adică creşterea lui x şi y pe axele de coordonate.

2.Analiza metodelor, algoritmilor şi implementarea

2.1Metodele şi algoritmii

Prima metodă, cea a grilei, reprezintă împărţirea domeniului nostru într-o grilă cu pasul h pe axa x şi pasul l pe axa y. Această grilă formează respectiv noduri – punctele de intersecţie a liniilor acestei grile.

Se numesc noduri vecine nodurile care se află la distanţa de un pas pe una din axele de coordonate. Se numesc noduri interne dacă vecii se află în domeniul G şi conturul ce-l mărgineşte Г. Celelalte noduri rămase se numesc noduri de hotar.

Valorile funcţiei căutate u=u(x,y) în aceste noduri notăm prin Pentru fiecare nod intern se calculează valoarea înlocuind derivata parţială prin valorile nodurile vecine:

Pentru un oarecare vom avea Prezintă interes pentru h=l, iar domeniul un dreptunghi.

În acest caz avem În caz că avem f(x,y)=0 avem (1). Câteodată putem calcula şi utilizând formula (2).

Algoritmul constă în construirea acestei grile, în alcătuirea sistemului de ecuaţii în care drept necunoscute vor servi nodurile interne.

De exemplu avem o grilă cu h=¼. Obţinem deci 9 noduri interne.

Alcătuim sistemul de ecuaţii în care vom avea 9 necunoscute:

Rezolvând acest sistem prin una din metodele de rezolvare a sistemelor (metoda Gauss), se obţin rezultatele în nodurile interne.

Metoda a doua constă în calcularea de valori iniţiale pentru o grilă cu pasul mai mare, iar apoi transferarea acestor rezultate într-o grilă cu pasul mai mic. Valorile iniţiale pentru nodurile rămase se calculează prin formula (1) sau (2).