Metode Numerice de Prelucrare și Baze de Date

ENUNŢUL PROBLEMEI

Folosind datele experimentale din tabelul de mai jos:

1. Scrieţi tabelul diferenţelor divizate crescător (forward difference table);

2. Scrieţi tabelul diferenţelor divizate descrescător (backward difference table);

3. Aplicaţi formulele de interpolare Gregory – Newton pentru a evalua funcţia la t : 10, 50, 90, 130, 170, 192.

Tabelul 1.1. Date de la fermentaţia penicilinei

Timpul (h) Concentraţia penicilinei

(unităţi/mL)

NOŢIUNI TEORETICE

Inginerii şi cercetătorii deseori se confruntă cu sarcina interpretării şi corelării datelor experimentale, care de cele mai multe ori se află sub formă de date discrete. Această sarcină este uşurată prin folosirea formulelor de interpolare sau extrapolare. Calculul diferenţelor finite ne permite să realizăm polinoame de interpolare care pot aproxima funcţii ce sunt dificil de integrat sau diferenţiat.

- Interpolarea Gregory-Newton

Fie un set de valori cunoscute ale funcţiei f(x) la valori ale lui x la spaţii echidistante:

x-3h f(x-3h)

x-2h f(x-2h)

x-h f(x-h)

x f(x)

x+h f(x+h)

x+2h f(x+2h)

x+3h f(x+3h)

Diferenţele divizate crescător şi descrescător de ordin 1, 2 şi 3 sunt prezentate în tabelele 1.2. şi 1.3.

Tabelul 1.2. Tabelul diferenţelor divizate crescător

i xi f(xi) Δ f(xi) Δ² f(xi) Δ³ f(xi)

0 x f(x) f(x+h)-f(x) f(x+2h)-2f(x+h)+f(x) f(x+3h)-3f(x+2h)+3f(x+h)-f(x)

1 x+h f(x+h) f(x+2h)-f(x+h) f(x+3h)-2f(x+h)+f(x+h)

2 x+2h f(x+2h) f(x+3h)-f(x+2h)

3 x+3h f(x+3h)

Tabelul 1.3. Tabelul diferenţelor divizate descrescător

i xi f(xi) ∇f(xi) ∇² f(xi) ∇³ f(xi)

0 x-3h f(x-3h)

1 x-2h f(x-2h) f(x-2h)-f(x-3h)

2 x-h f(x-h) f(x-h)-f(x-2h) f(x-h)-2f(x-2h)+f(x-3h)

3 x f(x) f(x)-f(x-h) f(x)-2f(x-h)+(x-2h) f(x)-3f(x-h)+3f(x-2h)-f(x-3h)

Formula de interpolare Gregory-Newton crescător poate fi derivată folosind relaţia:

1.1

Pentru a aplica relaţia (1.1) la n intervale înlocuim h cu nh:

1.2

Relaţia (1.2) mai poate fi scrisă şi astfel:

1.3

Notăm şi înlocuind în relaţia (1.3) obţinem:

1.3

Termenul poate fi explicitat folosind seriile binomiale:

1.4

Astfel, ecuaţia (1.3) devine:

1.5

Dacă n este un număr întreg pozitiv, seria binomială are (n+1) termeni, iar ecuaţia (1.5) este un polinom de ordinul n. Dacă sunt cunoscute (n+1) valori ale funcţiei f(x), acest polinom va cuprinde exact cele (n+1) puncte. Presupunem că cele (n+1) puncte de bază sunt:

(x0,f(x0)),(x1,f(x1)), ,(xn,f(xn)), unde (x0,f(x0)) este punctul de pivot, iar xi este definit ca: