Calculul integralelor în formă compactă

Capitolul I.

Integrarea.

De obicei, credem despre integrala nedefinita ca este mult mai complexa decât determinarea radacinilor unei ecuatii algebrice. De asemenea, este bine de stiut ca solutia unor ecuatii algebrice nu poate fi scrisa în termeni de radicali si ca anumite functii nu poseda integrale elementare. Oricum, datorita profunzimii dovezii acestor fapte, câteva texte merg dincolo de simpla expunere a câtorva exemple. Confundând o conditie suficienta cu una necesara si suficienta, foarte multi studenti spun sigur ca ecuatiile de grad mai mic sau egal cu patru pot fi rezolvate.

Cu tot respectul fata de integrare, este bine de stiut ca unele functii nu pot fi integrate (în termeni finiti), dar nu posedam nici o metoda de a vedea care functii sunt integrabile si care nu. Aceasta ultima situatie nu a fost acceptata de Liouville , care obtine un test: de conditie necesara si suficienta pentru integrabilitatea unei clase largi de functii. Noi trebuie sa folosim acest test si sa aratam cum trebuie sa-l aplice un proaspat student si care este utilitatea lui în tehnica de integrare. Baza acestui test este urmatoarea teorema , care este suficient de naturala pentru a fi imediat acceptata si retinuta.

Teorema: (Liouville)

Daca este o functie elementara, unde f, g sunt functii rationale în raport cu x si gradul lui g este mai mare decât zero, atunci:

(I.1) , unde:

R este o functie rationala care depinde de x.

Acesta este un caz special al teoremei originale a lui Liouville, dar este suficient de general pentru scopul nostru.

În aceasta nota , prin functie rationala întelegem ecuatia a doua polinomiale cu coeficientii in orice câmp de caracteristica zero (de exemplu numerele complexe).

În termeni de functie elementara este foarte dificil de definit. Totusi, studentul este dispus sa accepte sensul ca ecuatia algebrica generala de gradul cinci nu poate fi rezolvata în termeni de radicali, cu toate ca noi stim: în termeni de radicali necesita o discutie preliminara. De aceea, nu gaseste nici o dificultate in urmatoarea:

Definitie:

Numim functie elementara orice functie care poate fi construita prin combinatii finite ale functiilor exponentiale, trigonometrice, radicali si inversele lor.

Pe scurt, nu conteaza cât de complicata este functia , daca o putem scrie ca o combinatie de functii exponentiale , trigonometrice , radicali si inversele lor , ea este elementara.

Dar , sa revenim la test. Pentru a vedea daca functia poate fi integrata , revenim la teorema lui Liouville .Derivând ecuatia (1) si anulând , gasim:

(I.2)

Astfel , este elementara daca si numai daca exista polinoamele P si Q satisfacând ecuatia diferentiala (I.2).

Lema:

Daca f ( x ) = ( x - a ) r h ( x ) , unde r > 0 , h ( x ) este o functie polinomiala si h ( a ) ¹ 0 , atunci f( x ) = ( x- a )r-1 k ( x ) , unde

k ( a ) ¹ 0.

Putem face lucrurile mai usoare daca definim multiplicitatea .

Definitie:

Numarul a este numit un zero al functiei polinomiale f ( x ) de multiplicitate r daca:

f ( x ) = ( x - a)r h ( x ) , unde h ( a ) ¹ 0 .

În termeni de multiplicitate , lema se scrie:

Daca a este un zero al polinomului f ( x ) de multiplicitate r > 0 , atunci a este un zero al lui f( x ) de multiplicitate r  1.

Exemple:

I. Functia . Daca este elementara , atunci sau . Punând unde P si Q sunt polinoame relativ prime si Q ¹ 0 , gasim:

Q2 = QP-PQ-2xPQ (I.3)

care este ecuatia (I.2) . Dând factor comun pe Q , obtinem:

I.4)