Ecuatii Eliptice Liniare si Neliniare

Cuprins proiect Cum descarc?

Cuprins 2
1. Rezolvarea aproximativa a ecuatiilor eliptice liniare 4
1.1. Teorema proiectiilor 4
1.1.1. Enunt 4
1.1.2. Proprietati variationale 8
1.2. Aproximarea unui spatiu normat 9
1.2.1. Aproximarea interna a unui spatiu normat 10
1.2.2. Aproximarea externa a unui spatiu normat 13
1.3. Aproximarea prin diferente finite 14
1.3.1. Ecuatii de aproximare 14
1.3.2. Teorema de convergenta 15
1.4. Metoda de calcul al erorii 19
1.5. Metoda pasilor fractionari 21
1.5.1. Ecuatii de aproximare 23
1.5.2. Teorema de convergenta si evaluarea erorii 24
2. Aplicatii 27
2.1. Spatii de functii asociate unei multimi deschise din Rn 27
2.1.1. Definitia acestor spatii 27
2.1.2. Proprietati ale spatiilor Sobolev 29
2.1.3. Aproximarea unor spatii functionale(I) 30
2.1.4. Aproximarea spatiului 31
2.1.5. Aproximarea spatiului 32
2.1.6. Aproximarea unor spatii functionale (II) 36
2.1.7. Aproximarea externa a spatiului 38
2.1.8. Aproximarea externa a spatiului 40
2.2. Exemplu (I): Problema Dirichlet. 41
2.2.1. Problema exacta 41
2.2.2. Aproximarea prin diferente finite 42
2.2.3. Alte tipuri de rezultate 45
2.2.4. Metoda pasilor fractionari 47
2.2.5. Aplicatii numerice 49
2.3. Exemplu (II): Problema Neumann 49
2.3.1. Problema exacta 49
2.3.2. Aproximarea prin diferente finite 51
2.3.3. Metoda pasilor fractionari 52
2.3.4. Aplicatii numerice 53
3. O ecuatie eliptica neliniara 54
3.1. Problema exacta. 54
3.1.1. Teorema de existenta si unicitate 54
3.1.2. Leme 56
3.1.3. Metoda lui Garlekin 57
3.2. Probleme aproximative 61
3.2.1. Aproximarea externa a spatiului 61
3.2.2. Ecuatii de aproximare 64
3.2.3.. Metoda pasilor fractionari 68
3.2.4. Aplicatii numerice 69


Extras din proiect Cum descarc?

1. Rezolvarea aproximativa a ecuatiilor eliptice liniare
1.1. Teorema proiectiilor
In acest paragraf, demonstram o teorema foarte simpla, cunoscuta sub numele de teorema proiectiilor sau teorema Lax-Milgram, si care implica existenta si unicitatea solutiilor in sens slab pentru anumite clase de probleme eliptice liniare. 
1.1.1. Enunt
Fie un spatiu Hilbert real in raport cu produsul scalar notat prin
si a carei norma asociata lui este notata prin . Fie dualul lui , care la randul sau este spatiu Hilbert real si a carei norma este notata cu . Daca si , vom nota prin 
produsul scalar intre si in dualitatea dintre ' si sau, cum se mai zice, definim paranteza de dualitate. 
De asemenea, consideram o forma biliniara si continua pe 
si presupunem ca aceasta satisface urmatoarea conditie: , astfel incat , . (1.1)
Conditia (1.1) se numeste conditia de coercitivitate, iar atunci cand aceasta este satisfacuta, se spune ca forma este coercitiva.
Teorema 1.1. Fie un spatiu Hilbert real si o forma biliniara continua si coercitiva definita pe . Pentru orice exista un element si numai unul, astfel incat: 
. (1.2)
Mai mult,, aplicatia 
este liniara si continua.
Pentri demonstrarea acestei teoreme, vom da ecuatiei (1.2) o noua forma, prin introducerea operatorului , definit in mod natural prin (1.2). Astfel, pentru dat, arbirar ales, aplicatia partiala
este o forma liniara continua pe si exista deci un element al spatiului dual pe care il notam cu astfel incat: 
, .
Este usor de verificat ca aplicatia 
este o aplicatie liniara a lui in . De altfel, vom demonstra ca acesta este un izomorfism al lui pe , dar mai intai sa observam ca ecuatia (1.2) este echivalenta cu
, 
adica 
, (1.3)
egalitatea fiind considerata in dualul .
Daca demonstram ca operatorul este un izomorfism al spatiului pe dualul , teorema 1 va rezulta de aici imediat.
Propozitia 1.1. In ipotezele teoremei 1.1., operatorul este un izomorfism al spatiului pe .
Demonstratie. Sa aratam ca operatorul , despre care s-a observat mai inainte ca este liniar, este continuu in sensul normei spatiului dual, i.e. este -continuu. Forma biliniara fiind continua, exista o constanta astfel ca
de unde
si deci 
ceea ce demonstreaza ca operatorul este continuu.
Tinand seama de conditia (1.1), avem


Fisiere in arhiva (1):

  • Ecuatii Eliptice Liniare si Neliniare.DOC

Imagini din acest proiect Cum descarc?

Banii inapoi garantat!

Plateste in siguranta cu cardul bancar si beneficiezi de garantia 200% din partea Proiecte.ro.


Descarca aceast proiect cu doar 6 €

Simplu si rapid in doar 2 pasi: completezi adresa de email si platesti.

1. Numele, Prenumele si adresa de email:

Pe adresa de email specificata vei primi link-ul de descarcare, nr. comenzii si factura (la plata cu cardul). Daca nu gasesti email-ul, verifica si directoarele spam, junk sau toate mesajele.

2. Alege modalitatea de plata preferata:



* Pretul este fara TVA.


Hopa sus!