Lanțuri Markov

Cuprins proiect Cum descarc?

Cuprins
Rezumat
1. Notiuni generale 4
1.1 Definitii .. ..4
1.2 Clasificarea starilor unui lant Markov .6
1.2.1 Lanturi Markov in timp discret .7
1.2.2 Lanturi Markov in timp continuu ..8
2. Aplicatii ...10
Bibliografie ...15

Extras din proiect Cum descarc?

Rezumat:
Proiectul de fata are in vedere explicarea conceptului de ,,lanturi Markov", a celor mai importante aspecte cu privire la acestea, precum si exemplificarea prin aplicatii a acestor procese.
Procesele stochastice permit modelarea matematica a numeroaselor componente ale sistemelor tehnice, informatice, economice, sociale. Procesele stochastice sunt familii de variabile aleatoare, definite pe acelasi spatiu de probabilitate cu valori reale in acelasi spatiu de valori, indexate dupa un anumit parametru. 
Un lant Markov este un proces Markov cu un spatiu discret de stari. La baza conceptului de proces Markov se afla imaginea pe care o avem despre un sistem dinamic fara postactiune, adica un sistem al carui evolutie viitoare nu depinde decat de starea prezenta a procesului dar si de ceea ce s-a petrecut in trecutul sau.
Studiul comportarii lanturilor Markov in functie de timp poate fi efectuat in doua mari directii, dupa cum urmeaza: studierea in regim tranzitoriu, adica determinarea probabilitatilor de aflare in stare starea sau o submultime de stari studierea in regim de echilibru, adica se va cauta o distributie a probabilitatilor stationare de stare.
Vom observa faptul ca lanturile Markov sunt de doua tipuri, iar in cazul ambelor tipuri distributia limita a probabilitatilor de stare este independenta de distributia initiala fiind unica solutie a sistemului de ecuatii Kolmogorov. Ecuatiile Kolmogorov fac posibila gasirea tuturor probabilitatilor de stare ca functii de timp. Un interes deosebit sunt probabilitatile sistemului in limita modul stationar , adica la, care se numesc probabilitati limitative (sau finale) stari.
Lanturi Markov. Aplicatii
Notiuni generale:
Procesele stochastice permit modelarea matematica a numeroaselor componente ale sistemelor tehnice, informatice, economice, sociale etc.
In cele ce urmeaza, voi reda in mod succint principalele definitii si proprietati ale proceselor stochastice si ale lanturilor Markov.
1.1 Definitii:
Definitia 1: Un proces stochastic X este o familie de variabile aleatoare (X?)??? definite pe acelasi spatiu de probabilitate cu valori reale in acelasi spatiu de valori ? si indexate dupa un parametru ????R .
Un proces stochastic se reprezinta prin: {X???? ??? }
De obicei precizarea multimii ? coincide cu intervalul de timp al evolutiei diverselor clase de procese stochastice. Astfel, daca ?={?_1,?_2, ..,?_n } este o multime finita, atunci procesul stochastic este echivalent cu un vector aleator, care determina vectorul de stare al sistemului studiat.
In termeni probabilistici, a descrie evolutia unui proces stochastic inseamna cunoasterea probabilitatilor tuturor evenimentelor de forma: ,,la momentul ? procesul stochastic se gaseste in starea (X?=x)", precum si a probabilitatilor de realizare simultana a unui numar de astfel de evenimente pentru diverse momente ?_i?? si diverse multimi e_i?R,1<=i<=n. Cu alte cuvinte, este necesar sa fie cunoscute probabilitatile de forma:
Pr(X_(?_1 )?e_1, ..,X_(?_n )?e_n), pentru orice n?N, orice ?_i?? si orice e_i?R,1<=i<=n. Acest fapt se manifesta prin cunoasterea functiilor de repartitie n -  dimensionale:
X_(?_1 .?_n ) (x_1,x_2, ,x_n )=Pr?(X_? ?<=x_1, ,X_(?_n )<=x_n)
In acest context se mai spune ca legea probabilistica a unui proces stochastic este data de legea de repartitie a tuturor vectorilor aleatori cu probabilitatile.
In ipoteza ca parametrul ??? este timpul, se poate face si presupunerea particulara ca momentele ?_0,?_1, ..,?_n sunt ordonate si anume ca ?_0<?_1<?_2<?<?_n<?, fapt care apare natural. Intr-o astfel de situatie, daca observam procesul stochastic la momentul ?_n, pe care il consideram ca "prezent", putem presupune "trecutul" procesului pentru- ?_i<?, 0<=i<=n si in mod firesc ne intereseaza "viitorul" acestui proces pentru ?. Un astfel de interes ne conduce in mod natural si direct la evaluarea probabilitatilor conditionate de forma:
Pr(X_?<=x|X_(?_n )=x_n, ,X_(?_0 )<=x_0) care inseamna probabilitatea, ca procesul stochastic sa se afle la momentul viitor ? in X_?=x conditionat de faptul ca la momentele trecute ?_0<?_1<?<?_n<? s-a aflat succesiv in starile X_(?_0 )=x_0, ,X_(?_n )=x_n starea x_0 fiind starea initiala a acestui proces.

Fisiere în arhivă (1):

 Lanturi Markov.docx

Imagini din acest proiect Cum descarc?

Bibliografie

1. Gutuleac, Emilian (2010). Lanturi si sisteme de asteptare markoviene: Elemente teoretice si aplicatii. Chisinau, pp. 4-15;
2. Costache, Tania-Luminita (2008). Matematici speciale. Culegere de probleme, pp. 127-133.