Morfismele de Module

Introducere

Lucrarea prezintă principalele proprietăti ale morfismelor de module cu particularizări pentru clase de module,si generalizări categoriale.

- În primul capitol am definit notiunea de modul,morfism de

module,endomorfism si izomorfism de module.Am prezentat si notiunile de submodul si modul factor necesare în capitolele următoare.

Am caracterizat monomorfismele si epimorfismele de module.Am dat teoreme de izomorfism pentru module si am caracterizat modulele sirurilor exacte.

În finalul capitolului am prezentat sumele si produsele directe de module si morfisme de module.

- În capitolul doi am prezentat cîteva notiuni de teoria categoriilor necesare generalizărilor din ultimul capitol.

Aici am caracterizat monomorfismele si epimorfismele în cadrul categoriilor.

- In capitolul trei am prezentat cîteva clase particulare de module cum ar fi:

- modulele esentiale

- modulele superflue

- modulele finit generate

- modulele finit cogenerate

- modulele semisimple

- modulele simple

Am prezentat deasemenea structuri de bază din componenta unui modul cum ar fi:

- soclul unui modul

- radicalul unui modul

- trasa unui modul

- rejectul unui modul

Am prezentat aici si cîteva conditii de lant definind modulele noetheriene si artiniene,module cu serii de compozitie.

- In capitolul patru am prezentat două clase de module si am caracterizat morfismele din aceste clase.

- In prima parte am definit module injective si le-am caracterizat,prin intermediul morfismelor.

- În partea a doua am definit modulele proiective.

- În partea a treia am definit modulele cvasi-injective si cvasi-proiective.

CAPITOLUL I

I. ELEMENTE DE TEORIA MODULELOR

Teoria modulelor fundamentul algebrei moderne,reprezentând punctul de pornire pentru capitole recente ale algebrei cum ar fi: teoria modulelor injective si proiective,teoria dimensiunii,clasa modulelor pe care au loc conditii de finitudine.

1.1 Definitii. Interpretări.

Se stie că un modul este generalizarea unui spatiu vectorial,in sensul urmator: dacă operatia externa (înmultirea cu scalari), în cazul spatiului vectorial, se defineste cu ajutorul unui corp(comutativ, eventual),în cazul modulelor se va folosi un inel.

Fie R un inel unitar, nu neapărat comutativ si M un grup abelian cu o operatie interna presupusa aditiva: (M,+).

Definitia 1 M se numeste R-modul stâng (drept), dacă există o operatie externă s:RxM→M, s(a,x)= ax M, a R si x M ( respectiv d:MxR→M, d(x,a)=xa), care verifică următoarele axiome a,b R si x,y M:

a) a(x+y)=ax+ay

b) (a+b)x=ax+bx

c) (ab)x=a(bx)

d) 1x=x, unde 1 este unitatea inelului R.

( respectiv:

a) (x+y)a=xa+ya

b) x(a+b)=xa+xb

c) x(ab)=(xa)b