Sisteme de ecuații

INTRODUCERE

Ca urmare a gradului înalt de abstracţie atins de matematică în secolul nostru, există o tendinţă în fiecare dintre noi de a căuta să abordăm cu predilecţie noţiunile cele mai subtile cu metodele cele mai formalizate. Este o consecinţă a revoluţiei structurale suferită de matematică, revoluţie ce a pus pe baze axiomatice structurile fundamentale, pe care le numim astăzi algebrice, de ordine şi topologice şi a formalizat într-o mare măsură metodele şi instrumentele matematicii moderne. Un lucru este clar: nu ne putem întoarce la formele anterioare şi nu putem nega necesitatea definiţiilor şi demonstraţiilor riguroase. În acelaşi timp apare necesitatea de a nu elimina intuiţia din raţionamentele folosite în demonstrarea unor teoreme stabilite şi încorporate în disciplinele matematice, cât şi în cele destinate învăţământului de toate gradele.

De ce sisteme de ecuaţii ? Sistemele de ecuaţii sunt o piatră de încercare pentru elevi la orele de curs, la olimpiadele şcolare, la examenul de admitere în liceu, la bacalaureat şi nu în ultimul rând la problemele apărute în viaţa de zi cu zi. Dacă vorbim de ponderea sistemelor de ecuaţii în alte discipline din învăţămâtul gimnazial şi liceal, atunci ne referim la aplicaţiile matematicii în fizică, chimie, biologie, economie, informatică. Referitor la admiterea la liceu şi olimpiadele de matematică, putem spune că sistemele de ecuaţii au fost nelipsite din subiectele propuse. Este vorba de sisteme de ecuaţii elementare, dar şi de probleme complexe care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuaţii. Analiza erorilor apărute în rezolvarea acestor probleme a dus la necesitatea prezentării unor strategii de lucru eficiente adaptate diferitelor tipuri de elevi, la rezolvarea unor probleme prin mai multe metode, la transmiterea unui mesaj optimist în abordarea de către elevi a sistemelor de ecuaţii.

Primele trei capitole prezintă sistemele de ecuaţii liniare, sistemele de ecuaţii algebrice şi sistemele de ecuaţii prezente în geometria analitică. Ele încep cu prezentarea definiţiilor şi proprietăţilor de bază ce se folosesc în rezolvarea problemelor. Deasemeni în aceste capitole sunt prezentate diverse exerciţii reprezentative.

Prezentarea metodică a sistemelor de ecuaţii în clasele gimnaziale se găseşte în capitolul IV. Tot aici sunt prezentate şi probe de evaluare, analiza rezultatelor la aceste probe şi interpretarea lor.

Lucrarea poate asigura celui ce se apleacă cu pasiune şi dăruire în studierea şi cercetarea ei, o consistentă cultură matematică, premiză a căilor de acces spre interdisciplinaritate, spre o adevărată libertate a gândirii.

CAPITOLUL I

SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

1. DETERMINANŢI

Fie o matrice pătratică de ordinul n :

Formăm toate produsele posibile de n elemente aparţinând la linii şi coloane distincte. Un astfel de produs este de forma : ., unde sunt toate elementele mulţimii , eventual în altă ordine. Înseamnă că putem considera permutarea de gradul n : şi deci produsul se scrie: . Numărul total al produselor de forma este egal cu numărul tuturor permutărilor de grad n, deci n!. Determinantul de ordin n trebuie să conţină toate produsele , unde parcurge toate permutările lui .

Produsul trebuie să aibă semnul (+) sau semnul după cum permutarea are signatura +1 sau -1.

Definiţie: Numărul , unde este mulţimea tuturor permutărilor de gradul n şi este signatura permutării , se numeşte determinantul matricei A sau determinant de ordinul n şi se notează . Produsul se numeşte termen al determinantului de ordinul n.

Uneori numărul det A se mai notează prescurtat şi sau .

Proprietăţile determinanţilor:

Proprietatea 1: Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse. Adică dacă , atunci .

Demonstraţie: Fie şi matricea transpusă a lui A. Deci , oricare ar fi i = 1,2,…,n ; j = 1,2,…,n. Avem: .

Dacă notăm atunci şi deci produsul

= , deoarece . Cum numerele sunt numerele 1,2,…,n , eventual în altă ordine , iar înmulţirea numerelor este comutativă atunci

şi deci orice termen din suma determinantului se regăseşte în suma determinantului matricei transpuse şi invers. Deci .

Proprietatea 2: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule , atunci determinantul matricei este nul.

Demonstraţie: Să presupunem că toate elementele de pe linia i sunt nule. Cum fiecare termen al determinantului este un produs de elemente printre care se găseşte şi un element de pe linia i, atunci acest termen este 0. Deci determinantul este 0.